Théorème du rang :
Si \(E\) est de dimension finie, alors il en est de même pour \(\ker f\) et \(\operatorname{Im}f\), et, en plus, on a la relation suivante : $${{\operatorname{dim}E}}={{\operatorname{dim}\ker f+\operatorname{rg}f}}$$
(Espace vectoriel de dimension finie, Dimension, Noyau - Espace nul (algèbre linéaire), Image (algèbre linéaire))
Proposition : conséquence du théorème du rang :
Supposons que \(E\) et \(F\) sont des \(\Bbb R\)-espaces vectoriels de dimension finie
1. Si \(f\) est injective, alors \(\operatorname{dim}E\leqslant\operatorname{dim}F\)
2. Si \(f\) est surjective, alors \(\operatorname{dim}E\geqslant\operatorname{dim}F\)
(Espace vectoriel de dimension finie, Injection, Surjection, Dimension)
Démonstration :
Proposition :
Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie et \(\mathcal B=\{e_1,\ldots,e_n\}\) une base de \(E\)
Soit \(F\) un espace vectoriel et \(v_1,\ldots,v_n\) des vecteurs de \(E\) (éventuellement certains égaux)
Alors il existe une unique application linéaire \(f:E\to F\) tq $$f(e_i)=v_i\qquad1\leqslant i\leqslant n$$
(Espace vectoriel de dimension finie, Base, Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité)
Démonstration :
Corollaire :
Soit \(E,F\) deux espaces vectoriels de dimension finie $$\begin{align}&{{\operatorname{dim}E=\operatorname{dim}F}}\\ \iff&{{\text{il existe un isomorphisme }f\text{ de }E\text{ sur }F}}\end{align}$$
(Espace vectoriel de dimension finie, Dimension, Isomorphisme)
Démonstration :
Remarque :
Deux espaces vectoriels de dimension finie ne peuvent être reliés par un isomorphisme que s'ils ont la même dimension
Remarque :
Si \(E\) et \(F\) sont deux espaces vectoriels tels que \(\operatorname{dim}E=\operatorname{dim}F\lt +\infty\), alors il existe un isomorphisme de \(f\) de \(E\) sur \(F\)
(Espace vectoriel de dimension finie, Isomorphisme, Dimension)
Théorème : conséquence du théorème du rang
Si \(\operatorname{dim}E=\operatorname{dim}F\lt \infty\), et \(f\in\mathcal L(E,F)\), alors on a : $$\begin{align}&{{f\text{ est injective} }}\\ \iff&{{f\text{ est surjective} }}\\ \iff&{{f\text{ est bijective} }}\end{align}$$
(Espace vectoriel de dimension finie, Fonction linéaire - Application linéaire - Transformation linéaire - Linéarité, Injection, Surjection, Bijection)
Démonstration :
Remarque : si \(f\) est un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie, on a l'équivalence entre : $$\begin{align}&{{f\text{ est injectif} }}\\ \iff&{{f\text{ est surjectif} }}\\ \iff&{{f\text{ est un automorphisme} }}\end{align}$$
(Endomorphisme, Espace vectoriel de dimension finie, Injection, Surjection, Automorphisme)